SAYILAR ATLASI

Doğal Sayılar

Giriş

Sayılar tarafından kuşatılmış vaziyetteyiz. Nereye baksak rakamları, sayıları görüyoruz. Sürekli onlarla temas halindeyiz. Onlara dokunmadan, onlarla karşılaşmadan bir hayat pek mümkün görünmüyor.

Sayıların cazibesi onların karizmasından kaynaklanmıyor. Uzun zamandır, çok uzun zamandır sayıların tiranlığı, diktatörlüğü hüküm sürmekte. Sayılar evreni yönetmekte. Aritmetiğin dört işlemi, mükemmel, şahane araçlar olarak bu hükümdarlığı perçinlemekte. Entelektüel kanıt olarak kendilerini her sürttükleri, gezindikleri, dolaştıkları yerlerde geride bırakmaktalar. Coğrafyalarının sınırsızlığı onlara sunulan pervasız öz güvenin sonucudur.

Bilgisayarlar inanılmaz hız ve oranda sayı üretiyorlar. Üretilen bu sayılar tüketilmek üzere herkese sunuluyor. Sayılar artık sadece karşımızda duran rakamlar değiller. Hesaplar, ölçümler, bütçeler, notlar, indirimler, göstergeler, onlar, bunlar, şunlar, uzun zamanın fetişi.

İki kişi bir oyun oynamaya karar verir. Biri diğerine bir bahis önerir, kim daha büyük bir sayı bulabilirse oyuna bir aşama önde başlayacaktır. İkinci kişi yarışmayı kabul eder ve birkaç dakika konsantre olduktan sonra gururla "Üç," der. Bahsi öneren kişi uzun bir süre sessiz kaldıktan sonra omuz silkip yenilgiyi kabul eder. Bir çoğumuz "Üç" sayısının yeterli olmasını daha fazlasına gerek duymamayı düşleriz. En büyük sayının 3 olduğu bir sistemde daha büyük sayılar oluşturan işlemler kolaylaşacak, algılaması zor kavramlara gereksinim kalmayacaktır. Budur bizim pek mümkün olmayan davetimiz.

20. yüzyılın en ünlü matematikçilerinden G.H. Hardy, öğrencisi matematikçi Srinivasa Ramanujan'ı hastanede ziyaret etmektedir. Laf olsun diye kendisini hastaneye getiren taksinin plakasının "1729" olduğunu ve bu sayının alelade bir sayı olduğunu söyler. Bunun üzerine Ramanujan hemen yanıt verir, "Hayır, Hardy! Hayır Hardy! O çok ilginç bir sayı. 1729, iki farklı şekilde, iki sayının küpünün toplamı olarak ifade edilebilecek en küçük sayıdır."

Sayıları, sadece bir takım rakamlardan varolduğunu düşünmek, onları böyle bir hikayenin içine hapsetmek düpedüz sayıları çok hafife almaktır. Bu hafife almaya karşı sayılar avazları çıktığı kadar "Ya Müzik! Ya Müzik!" diye haykırırlar. Müziğe sayılarla bilinçaltı uğraşan bir kafanın gizli bir aritmetik çalışması diye bakarsak, onların haykırışlarını bir nebze olsun duyabiliriz.

Bilinen her şeyin bir sayısı vardır. Onların kudreti ve zafiyeti buradadır. Açık ve net olarak kendileri olmadan bir şeyin tasarlanabilmesinin ya da bilinmesinin olanaksız olduğunu ısrarla göze sokarlar. Kendi pervasızlıklarını sıkıcı olmadıkları sunarak var ederler. Hakimiyetlerini bunun üzerine inşa ederler. Sayılar, çılgın bir deliyi kibar bir insana, beyefendiye, hanımefendiye dönüştüren katalizördür. Yoksa, sabah akşam pi'nin basamaklarını el yordamıyla, göz nuruyla işleyen kişiye başka türlü nasıl bakabiliriz. Onu adlandırırken, pi'ye yaptığı katkılardan dolayı ne diyebiliriz? Cazibenin karşısında dik duranlara selam olsun.

Sayılar doğada vardırlar ya da yokturlar. Onlar, gözlemlenen olgu veya nesne veya şey değildir.

Modern zamanın teknolojik zafer nidalarının temelinde, ardında matematik yatar. Geçen yüzyılın kanlı savaşlarının kimyacılarla fizikçilerin savaşları olduğu söylenir. Günümüzün ve önümüzdeki savaşlar matematikçilerin savaşlarıdır. Biz onlardan değiliz.

***

Matematiksel iştah, mükemmellik arayışından daha ziyade özgürleştirici bir süreçtir. Bu iştah sayesinde oyunlardan oyunlara, sorulardan sorulara atlanır, araştırmalar yapılır. Bu iştahla temel sorulara, güzel, yalın yanıtlar bulunur.

Matematik evrenseldir. Kültürlerden, insanlardan, coğrafyadan, uygarlıklardan bağımsızdır ve bugün bir matematikçinin yaptığı, bu güne kadar yapılanlarla oluşturulmuş bir katkıdır.

Alman sanayici Paul Wolfskehl bir matematik meraklısıydı. Yıllardır çözümü bulunamayan Fermat’nın Son Teoremi de özel ilgi alanıydı. Platonik aşık idi, aşkına bir türlü karşılık alamıyordu. İntihar etmeye karar verdi; belirlediği gün, tam gece yarısı kafasına sıkacaktı. Her şeyi planladı, ticari işlerini yoluna koydu, vasiyetini yazdı, yakın dostlarıyla ailesine mektuplar yazdı. Her şeyi öyle güzel ayarlamıştı ki, o gün gelip çattığında gece yarısına kadar ne yapacağını bilmiyordu. Ernst Eduard Kummer'in Fermat'ın Son Teoremi hakkındaki eserini okumaya başladı. Makalede kendisini hem cezbeden hem de boşlukta bırakan varsayımlar vardı; ya ciddi bir hata keşfetmişti ya da varsayımı doğruluyordu. Birden kendisini tüm dikkatini makaleye vermiş, çalışırken buldu. Saatler geçmiş, şafak sökmüş ama çalışmasını bitirmeyi başarmıştı. İntihar vakti çoktan geçmiş ama Kummer'in eserindeki boşluğu düzeltmeyi başarmıştı. Kendisiyle duyduğu gurur hayata tutunmasını sağlamıştı. Karşılıksız aşkını da unutmuştu. Bütün veda mektuplarını yırtıp atarken vasiyetini yeniden kaleme aldı. Yıllar sonra öldüğünde bu yeni vasiyetname açılıp okundu, servetinin büyük kısmını Fermat’nın Son Teoremi'ni çözecek kişiye verilmek üzere ödül olarak bırakmıştı. Diyetini ödemişti.

Matematik üzerine çalışırken, oynarken geçirdiğin zaman özgür olduğun anlardandır. Kendini gerçek dünyadan soyutlarsın.

***

Bu kitapta Sayı Teorisi'nde kanıtlanmış olan birçok çalışmaları örnek olarak kullandık.

Kitapta doğal sayıları konu ettik. Yıllardır matematikçileri meşgul eden fikirlerden bazıları bu kitabın konusudur. Sayı Türleri'nde kullanılan kavramlar şu ana kadar yapılan çalışmalarda elde edilen sonuçların üzerine inşa edilmiştir. Birçok sonuç bilgisayarların, yazılımcıların, matematikçilerin yazdıkları algoritmalar sayesinde elde edilmiştir. Bu sonuçlar, kolay hesaplarla elde edilmeyecek sayılardır.

Kitap üç bölümden oluşmaktadır. "Sayılar" bölümünde sayıların farklı taban yazılımları, asal çarpanları, bölenleriyle bunların toplamları, çeşitli kuvvetlerdeki sayıların toplamı olarak yazılı yazılamayacağı gibi özellikleri verildi. Yıllardır kafalarımızda dönüp dolaşan, bizi sürekli "Haydi! Haydi!" diye dürten sayılar ve onlarla ilgili ilginç özellikleri sunduk. Bunu yapabilmek için birçok kitap, dergi ve web sitesi araştırdık. Araştırırken kendimizi kaptırdık, tartıştık, keyiflendik, eğlendik. Kullanılan cebirsel özelliklerin kanıta gereksinimi olduğu düşünülebilir ancak özelliklerin çoğu okuyucu tarafından kolayca gösterilebilir, verilen referansları incelemek de yardımcı olacaktır.

"Sayı Türleri" olarak adlandırdığımız ikinci bölüm bir nevi sözlük ya da ansiklopedi olarak düşünülebilir. Sayıların özelliklerine uygun kavramları alfabetik bir sırayla bir araya getirdik, bu kavramların açıklayıp, örneklerini verdik. Bütün bunları yaparken basit bir dil kullanmaya özen gösterdik, karmaşık gösterimlerden ve sembollerden kaçındık.

"Kullanılan Terimler Sözlüğü", kitapta kullanılan 'bilinen' bazı temel terimleri açıklamaya yönelikti. Kısaltmalar ve notasyonlar da bu bölümde açıklandı.

Bu kitabı hazırlarken çok keyif aldık. Keyifliydi, zaman geçiriyorduk. Başkalarının yaptıkları, bizi şaşırtan şeyleri biz de yaptık. Yaparken şaşırdık. Bu böyle mi, diye bir sürü problemi araştırırken keyif aldık, eğlendik, neşelendik. Aynısını size de öneriyoruz. Sizin de keyif almanızı, eğlenmenizi, neşelenmenizi istiyoruz.

Kitabı okuduğunuz süre içinde, bir kalem ve kağıda gereksinim duyarak, okuduğunuz şeylerin hesabına daldığınızda, bu kitabın varolma nedeni ortaya çıkmış olacaktır.

***

Matematik başı sonu olmayan bir oyundur, şenliktir. Matematik, eğlencedir, neşeli olmayı gerektirir. Eğlencesiz, şenliksiz, neşesiz oyun öldürür.

Siz de oynayın. Bu davet bizim.

Anlatılan, anlattığımız, anlatacağımız sayıların hikayesidir. Anlatılmasa da olurdu. Biz anlatmayı seçtik. Hikayeyi başka bir yerden, bir başka türlü anlatmayı yeğledik. Başka bir yerden tutalım, oradan yürüyelim istedik.

Becerebildiysek ne mutlu bize, size, herkese.

Nuretttin Çalışkan
Mehmet Turgut Necmi Bayram

Bodrum